Home

Bètavakken

Wiskunde

wiskunde-2

https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/wiskunde.png

icoon wiskunde

wismon-header21

https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2020/08/WisMon-Header21.jpg

Cursus volgen bij WisMon

informatiepakket-wismon-mis-jij-een-betavak

https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/Informatiepakket-wismon-mis-jij-een-betavak.png

Beta cursus volgen bij Wismon

Informatiepakket

Heb jij een bètavak nodig om toegelaten te worden tot een hbo-opleiding of de universiteit? Onze cursussen  <a href="https://www.wismon.nl/scholier-student/cursussen/wiskunde/">wiskunde a</a>, <a href="https://www.wismon.nl/scholier-student/cursussen/wiskunde/">wiskunde b,</a> <a href="https://www.wismon.nl/scholier-student/cursussen/natuurkunde//">natuurkunde</a>, <a href="https://www.wismon.nl/scholier-student/cursussen/scheikunde/">scheikunde</a> of <a href="https://www.wismon.nl/scholier-student/cursussen/biologie/">biologie</a>  behandelen de gehele bovenbouwstof. We bereiden je optimaal voor op het halen van een deelcertificaat of het CCVX voortentamen.

1leerlingen-basicblock-cursus-wismon

https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2020/11/1Leerlingen-basicblock-cursus-wismon-500x366.jpg

Leerling beta cursus Wismon

Vergelijkingen vind je overal om je heen. Een voorbeeld is de vergelijking die wordt gebruikt om euro&#8217;s om te rekenen naar dollars. In deze blog leer je hoe je vergelijkingen gebruikt en oplost.

wismon-header22

https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2020/08/WisMon-Header22.jpg

WisMon Header22

Vergelijkingen: hoe los je ze op?

In een vergelijking worden twee termen aan elkaar gelijk gesteld. Een vergelijking kan opgelost worden door de waarde van de onbekende letter uit te rekenen. De functie F = 1,8C + 32 kan bijvoorbeeld worden gebruikt om uit te rekenen hoeveel graden Celsius (C) overeenkomt met een temperatuur in Fahrenheit (F) van 112 ^{\circ} F. Lees verder hoe je deze vergelijking oplost!

<h2>Wat is een vergelijking?</h2>
In een vergelijking worden het linker- en rechterlid gelijkgesteld door het =-teken. Dat betekent dat de termen links gelijk moeten zijn aan de termen rechts. De oplossing geeft aan voor welke waarde van de onbekende letter (in de meeste gevallen x) het linker- en rechterlid gelijk zijn aan elkaar. De bekendste vergelijking is de lineaire vergelijking en dat is een vergelijking zonder kwadraten of wortels. Dit wordt ook wel een eerstegraads vergelijking genoemd.
<h6>Een voorbeeld:  2x + 5 = 11 </h6>
Dit is een vergelijking waarbij links van het =-teken 2x + 5 staat en rechts van het =-teken 11 staat. Dit is een lineaire vergelijking. De term links van het =-teken kun je tekenen in een grafiek y = 2x + 5. Zie de figuur. Je kunt de waarden van x en y ook in een tabel zetten. In de tabel lees je af dat voor een waarde van x=3, y gelijk is aan 11. De oplossing van de vergelijking 2x + 5 = 11 is dus x=3.
<div id="attachment_49747" style="width: 191px" class="wp-caption alignnone"><img aria-describedby="caption-attachment-49747" class="wp-image-49747 size-medium" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/opzet-grafiek-2-181x300.png" alt="" width="181" height="300" srcset="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/opzet-grafiek-2-181x300.png 181w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/opzet-grafiek-2-600x993.png 600w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/opzet-grafiek-2-618x1024.png 618w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/opzet-grafiek-2-768x1272.png 768w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/opzet-grafiek-2-928x1536.png 928w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/opzet-grafiek-2-72x120.png 72w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/opzet-grafiek-2.png 1040w" sizes="(max-width: 181px) 100vw, 181px" />Grafiek van y = 2x + 5</div>
<div id="attachment_49813" style="width: 200px" class="wp-caption alignnone"><img aria-describedby="caption-attachment-49813" class="wp-image-49813" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Tabel_Vergelijking1-300x267.png" alt="" width="190" height="169" srcset="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Tabel_Vergelijking1-300x267.png 300w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Tabel_Vergelijking1-600x533.png 600w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Tabel_Vergelijking1-1024x910.png 1024w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Tabel_Vergelijking1-768x683.png 768w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Tabel_Vergelijking1-1536x1365.png 1536w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Tabel_Vergelijking1-2048x1820.png 2048w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Tabel_Vergelijking1-120x107.png 120w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Tabel_Vergelijking1-1620x1440.png 1620w" sizes="(max-width: 190px) 100vw, 190px" />Tabel bij functie y = 2x + 5</div>
Er bestaan nog veel meer andere soorten vergelijkingen, zoals de kwadratische vergelijking. Dit wordt ook wel een tweedegraads vergelijking genoemd. Een kwadratische vergelijking bevat een x^2. Andere soorten vergelijkingen zijn:
<ul>
<li>wortelvergelijkingen</li>
<li>exponentiële vergelijkingen</li>
<li><a href="https://www.wismon.nl/kennisbank-vragen/logaritmische-functies-oplossen/">logaritmische vergelijkingen</a></li>
<li>Gebroken vergelijkingen</li>
</ul>

banner-kennisbank-algemeen

https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Banner-kennisbank-algemeen.png

Kennisbank onderwijsinstellingen

<h2>Hoe los je een vergelijking op?</h2>
Voor het oplossen van lineaire vergelijkingen volg je 3 stappen. Zie de volgende twee voorbeelden:
&nbsp;
<h6>Voorbeeld 1:  y = 3(x – 8) = 6</h6>
Stap 1: werk zo nodig de haakjes en breuken weg.
3x – 24 = 6
Stap 2: breng alles met een letter naar links, en alle getallen naar rechts.
3x = 30           (+24 bij beide termen)
Stap 3: deel door het getal dat voor de onbekende staat.
x = 10             (:3 bij beide termen)
&nbsp;
<h6>Voorbeeld 2: F = 1,8C + 32 = 112 </h6>
Stap 1: werk zo nodig de haakjes en breuken weg.
1,8C + 32 = 112
Stap 2: breng alles met een letter naar links, en alle getallen naar rechts.
1,8C = 144          (+32 bij beide termen)
Stap 3: deel door het getal dat voor de onbekende staat.
C = 80 ^{\circ}C           (:1,8 bij beide termen)

Je kan een vergelijking herkennen aan het =-teken en één of meerdere onbekenden zoals x, y of een andere letter. Opgaven bevatten vaak de volgende woorden:
<ul>
<li>Bereken x of y</li>
<li>Los op</li>
<li>Vind de onbekende</li>
</ul>

<h2>Voorbeeldopgaven</h2>
<img class="alignnone wp-image-49627" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/basisniveau.png" alt="" width="60" height="60" />
<h5>Basis</h5>
Los de vergelijking 5(x + 3) = 30 op.
<h6>Uitwerking</h6>
<ol>
<li>5(x + 3)=30 
5x+15=30</li>
<li>5x=15</li>
<li>x=3</li>
</ol>
&nbsp;
<img class="alignnone wp-image-49558" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/gevorderden.png" alt="" width="60" height="60" />
<h5>Gevorderd</h5>
De temperatuur van een kop koffie koelt af volgens de volgende formule:
T=84-7t
Hierbij is T de temperatuur in graden Celsius en t de tijd in minuten.
<ol>
<li>Daan drinkt zijn koffie na 3 minuten. Bereken de temperatuur van de koffie.</li>
<li>De koffie heeft een temperatuur van 70 graden Celsius. Bereken hoe lang de koffie al staat af te koelen.</li>
<li>De koffie is afgekoeld naar kamertemperatuur (20 ⁰C). Bereken hoe lang dat minimaal geduurd heeft in minuten en seconden nauwkeurig.</li>
</ol>
<h6>Uitwerking:</h6>
<ol>
<li>t=3, dus T = 84 – 7 \cdot 3 = 63 ^{\circ}C 
Dus de temperatuur is 63 ^{\circ}C. </li>
<li> T = 70 ^{\circ}C 
84 -7t = 70 
7t = 14 
t = 2 minuten. 
De koffie staat 2 minuten af te koelen.</li>
<li>T = 20 ^{\circ} C 
84 – 7t = 20 
7t = 104 
t = \dfrac{104}{7} = 14 \dfrac{6}{7} minuten 
Dit zijn 14 minuten en ongeveer 52 seconden.</li>
</ol>

<div class="sc-bdVaJa sc-htpNat style__Wysiwyg-qo7oiv-0 eIhElD">
Heb jij een bètavak nodig om toegelaten te worden tot een hbo-opleiding of de universiteit? Onze cursussen <a href="https://www.wismon.nl/scholier-student/cursussen/wiskunde/">wiskunde a</a>, <a href="https://www.wismon.nl/scholier-student/cursussen/wiskunde/">wiskunde b</a>, <a href="https://www.wismon.nl/scholier-student/cursussen/natuurkunde//">natuurkunde</a>, <a href="https://www.wismon.nl/scholier-student/cursussen/scheikunde/">scheikunde</a> of <a href="https://www.wismon.nl/scholier-student/cursussen/biologie/">biologie</a> behandelen de gehele bovenbouwstof. We bereiden je optimaal voor het halen van een deelcertificaat of het CCVX voortentamen. Zo kun je alsnog worden toegelaten tot jouw studie naar keuze!
</div>

Mis jij nog een bètavak?

<div class="sc-bdVaJa sc-htpNat style__Wysiwyg-qo7oiv-0 kqqQIz">
Wil je meer weten over ons cursusaanbod? Vraag dan een gratis informatiepakket aan en lees alles rustig door!
</div>

informatie-basicblock

informatie basicblock

Vraag een informatiepakket aan

Vergelijkingen oplossen - WisMon

Statistiek krijg je bij wiskunde A. Ook in het hoger onderwijs en de wetenschap wordt statistiek veel gebruikt. In dit blog wordt uitgelegd wat statistiek is en waar het voor gebruikt wordt.

wismon-header11

https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2020/08/WisMon-Header11.jpg

WisMon Header11

Wat is statistiek?

Stel, je denkt dat de leerlingen van 5H1 die op school les hebben gehad beter hebben gescoord op de toets dan de leerlingen uit 5H2 die online les hebben gehad. Maar hoe weet je zeker dat het geen toeval is? Hierbij kan statistiek helpen! Lees hieronder hoe je met behulp van statistiek de juiste conclusies trekt.
<h2>Wat is statistiek?</h2>
Statistiek is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met het verzamelen en analyseren van gegevens. Het weer van de afgelopen jaren, informatie over het koopgedrag van mensen en het aantal insectensoorten in Nederland zijn allemaal voorbeelden van gegevens die je kunt meten. Door vervolgens statistiek toe te passen kun je nuttige informatie uit deze meetresultaten halen. Zo gebruiken wetenschappers statistiek om de juiste conclusies te trekken op basis van de resultaten van hun onderzoek.
Met statistiek kun je gegevens beschrijven. Denk hierbij bijvoorbeeld aan het gemiddelde, de mediaan, de standaardafwijking of het weergeven van de gegevens in een diagram. Daarnaast wordt statistiek ook gebruikt om gegevens te toetsen. Door te toetsen kun je conclusies trekken over de gegevens die je hebt verzameld. Hiervoor gebruik je o.a. de binomiale verdeling en de normale verdeling.

<h2>Beschrijvende statistiek</h2>
Om waarnemingen statistisch te beschrijven, gebruik je centrummaten en spreidingsmaten. Centrummaten geven aan waar het midden van de gegevens ongeveer zit. Hierbij horen de volgende begrippen:
<ul>
<li>Gemiddelde: de som van de waarnemingen gedeeld door het aantal waarnemingen</li>
<li>Modus: de waarneming die het vaakste voorkomt</li>
<li>Mediaan: het middelste waarnemingsgetal</li>
</ul>
Spreidingsmaten geven aan of de waarnemingen dicht of juist ver uit elkaar liggen. Dit zijn de spreidingsmaten:
<ul>
<li>Spreidingsbreedte: het verschil tussen de hoogste en laagste waarneming</li>
<li>Kwartielafstand: het verschil tussen de mediaan van de tweede helft waarnemingen (Q3) en de mediaan van de eerste helft waarnemingen (Q1)</li>
<li>Standaardafwijking: de wortel van de gemiddelde afwijking van het gemiddelde in het kwadraat</li>
</ul>
Daarnaast is het bij statistiek ook belangrijk om je data juist weer te geven. Dit kan met behulp van een diagram:
<ol>
<li>Boxplot</li>
<li>Histogram</li>
<li>Frequentiepolygoon</li>
<li>Cumulatief frequentiepolygoon</li>
<li>Cirkeldiagram  </li>
</ol>
<h6>Voorbeeld:</h6>
<img class="alignnone wp-image-53674 size-full" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/statistiek-1.png" alt="boxplot voorbeeld" width="588" height="142" srcset="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/statistiek-1.png 588w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/statistiek-1-300x72.png 300w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/statistiek-1-120x29.png 120w" sizes="(max-width: 588px) 100vw, 588px" />
In deze boxplot lees je af dat de waarden liggen tussen de 39 en de 47. De spreidingsbreedte is dus 47-39=8. Daarnaast kun je aflezen dat de mediaan bij 43 ligt en wat het eerste en derde kwartiel zijn. Het eerste kwartiel is hier 42 en het derde kwartiel is hier 45. De kwartielafstand is dus 45–42=3.

Een vraag over statistiek is vaak te herkennen aan meetresultaten die zijn weergegeven in een tabel, een grafiek of in de tekst staan beschreven.

<h2>Voorbeeldopgave</h2>
De leerlingen van 5V hebben voor hun wiskundetoets de volgende resultaten behaald:
<img class="alignleft wp-image-53677 size-medium" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/statistiekk-257x300.png" alt="tabel voorbeeldopgave statistiek" width="257" height="300" srcset="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/statistiekk-257x300.png 257w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/statistiekk-600x700.png 600w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/statistiekk-768x896.png 768w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/statistiekk-103x120.png 103w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/statistiekk.png 789w" sizes="(max-width: 257px) 100vw, 257px" />
&nbsp;
&nbsp;
&nbsp;
<ol>
<li>Wat is het gemiddelde cijfer in de klas?</li>
<li>Wat is de mediaan van de cijfers behaald door 5V?</li>
<li>Zet de resultaten in een staafdiagram</li>
</ol>
&nbsp;
&nbsp;
&nbsp;
<h6>Uitwerking:</h6>
<ol>
<li>\frac{1\times1+2\ \times2+4\times3+3\times4+2\times5+6\times6+8\times7+4\times8+1\ \times9}{31}\ \approx{5,5} 
Gemiddeld is er een 5,5 gehaald in 5V</li>
<li>Zet alle behaalde resultaten op volgorde van grootte: 
1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9 
Het middelste getal uit deze rij is de mediaan. 
De mediaan van de cijfers behaald door klas 5V is 6.</li>
<li><img class="alignnone wp-image-53680" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/statistiek-opgave-staafdiagram-300x175.png" alt="staafdiagram voorbeeldopgave statistiek" width="588" height="343" srcset="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/statistiek-opgave-staafdiagram-300x175.png 300w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/statistiek-opgave-staafdiagram-600x350.png 600w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/statistiek-opgave-staafdiagram-1024x598.png 1024w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/statistiek-opgave-staafdiagram-768x448.png 768w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/statistiek-opgave-staafdiagram-1536x897.png 1536w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/statistiek-opgave-staafdiagram-120x70.png 120w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/statistiek-opgave-staafdiagram-1620x946.png 1620w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/statistiek-opgave-staafdiagram.png 1982w" sizes="(max-width: 588px) 100vw, 588px" /></li>
</ol>

Dit vind je ook interessant

Heb jij een bètavak nodig om toegelaten te worden tot een hbo-opleiding of de universiteit? Onze cursussen <a href="https://www.wismon.nl/scholier-student/cursussen/wiskunde/">wiskunde a</a>, <a href="https://www.wismon.nl/scholier-student/cursussen/wiskunde/">wiskunde b</a>, <a href="https://www.wismon.nl/scholier-student/cursussen/natuurkunde//">natuurkunde</a>, <a href="https://www.wismon.nl/scholier-student/cursussen/scheikunde/">scheikunde</a> of <a href="https://www.wismon.nl/scholier-student/cursussen/biologie/">biologie</a> behandelen de gehele bovenbouwstof. We bereiden je optimaal voor het halen van een deelcertificaat of het CCVX voortentamen. Zo kun je alsnog worden toegelaten tot jouw studie naar keuze!

Wil je meer weten over ons cursusaanbod? Vraag dan een gratis informatiepakket aan en lees alles rustig door!

Dacht je net te snappen hoe je vergelijkingen moet oplossen, kom je ongelijkheden tegen! Gelukkig los je ongelijkheden bijna op dezelfde manier op. In deze blog leggen we uit wat ongelijkheden zijn en hoe je ze oplost.

wismon-header8

https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2020/08/WisMon-Header8.jpg

WisMon Header8

Wat zijn ongelijkheden en hoe los je ze op?

De vraag: hoeveel punten moet je scoren om hoger dan een 7 voor je toets te halen? is een voorbeeld van een ongelijkheid, die geschreven kan worden als: score op de toets &gt; 7. Door deze ongelijkheid op te lossen weet je met hoeveel punten je minimaal een 7 haalt voor je toets. Maar er zijn nog veel meer handige toepassingen. Benieuwd naar andere vergelijkingen? Lees dan <a href="https://www.wismon.nl/kennisbank-vragen/vergelijkingen-oplossen-2/">deze blog</a>.
<h2>Wat zijn ongelijkheden?</h2>
Ongelijkheden zijn vergelijkingen waarbij de linker term niet gelijk is aan de rechter term. Een ongelijkheid wordt dus niet gescheiden door het =-teken, maar door één van de volgende tekens:
<ul>
<li>A&gt;B           A is groter dan B</li>
<li>A\geq B           A is groter dan of gelijk aan B</li>
<li>A&lt;B           A is kleiner dan B</li>
<li>A\leq B           A is kleiner dan of gelijk aan B</li>
</ul>
<img class="alignleft wp-image-53425" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden_grafiek-241x300.png" alt="grafiek voor ongelijkheden oplossen" width="270" height="336" srcset="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden_grafiek-241x300.png 241w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden_grafiek-600x748.png 600w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden_grafiek-822x1024.png 822w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden_grafiek-768x957.png 768w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden_grafiek-1232x1536.png 1232w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden_grafiek-1643x2048.png 1643w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden_grafiek-96x120.png 96w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden_grafiek-1620x2019.png 1620w" sizes="(max-width: 270px) 100vw, 270px" />
&nbsp;
In een assenstelsel vertelt een ongelijkheid je wanneer de ene grafiek boven of onder de andere grafiek ligt. Zie de grafiek hiernaast die hoort bij de ongelijkheid 2x+6&gt;x^2 +3x.
Deze ongelijkheid vraagt voor welke waarden de groene grafiek hoger ligt dan de oranje grafiek. Je kunt in de grafiek aflezen dat de groene grafiek groter is dan de oranje grafiek wanneer x groter dan 3 is, maar kleiner dan 2. Dit noteer je als:
-3&lt;x&lt;2.

<h2 style="text-align: left;">Hoe los je ongelijkheden op?</h2>
Het oplossen van een ongelijkheid lijkt heel erg op het oplossen van een vergelijking. Je doorloopt hiervoor een aantal stappen.
<h6>Voorbeeld: -6x+3\leq8</h6>
<img class="alignleft wp-image-53479" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden_grafiek2-163x300.png" alt="voorbeeldgrafiek voor het oplossen van ongelijkheden" width="215" height="396" srcset="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden_grafiek2-163x300.png 163w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden_grafiek2-600x1105.png 600w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden_grafiek2-556x1024.png 556w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden_grafiek2-768x1414.png 768w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden_grafiek2-834x1536.png 834w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden_grafiek2-1113x2048.png 1113w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden_grafiek2-65x120.png 65w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden_grafiek2.png 1150w" sizes="(max-width: 215px) 100vw, 215px" />
&nbsp;
Stap 1: Vervang het ongelijkteken door een gelijkteken. 
-6x+3=8
Stap 2: Los de nieuwe verkregen vergelijking op. 
-6x=5 
x=-\frac{5}{6}
Stap 3: Maak een schets en lees daaruit de oplossing(en) af. 
-6x+3 is een dalende grafiek en y=8 is een rechte lijn. 
Zoek de x-waarden waarvoor de oranje grafiek kleiner of gelijk is aan de groene grafiek. 
Oplossing: x\geq-\frac{5}{6}

Een opgave met een ongelijkheid kun je herkennen aan:
<ul>
<li>een vergelijking met één van de tekens &lt;, &gt;, \leq of \geq</li>
<li>in een zin: voor welke x is functie 1 groter/kleiner dan functie 2?</li>
</ul>

<h2>Voorbeeldopgaven</h2>
<img class="alignnone wp-image-49627" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/basisniveau.png" alt="icoon basisopgaven" width="60" height="60" />
<h5>Basis</h5>
Los de ongelijkheid 2x+2&lt;10 op.
<img class="size-medium wp-image-53605 alignleft" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden-basis-213x300.png" alt="" width="213" height="300" srcset="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden-basis-213x300.png 213w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden-basis-600x846.png 600w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden-basis-726x1024.png 726w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden-basis-768x1083.png 768w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden-basis-1089x1536.png 1089w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden-basis-1453x2048.png 1453w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden-basis-85x120.png 85w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/ongelijkheden-basis.png 1493w" sizes="(max-width: 213px) 100vw, 213px" />
<h6></h6>
<h6>Uitwerking</h6>
<ol>
<li>Vervang het ongelijkteken door een gelijkteken 
2x+2=10</li>
<li>De vergelijking oplossen geeft 
2x=8 
x=4</li>
<li>Lees de oplossingen af uit de schets 
x&lt;4</li>
</ol>
&nbsp;
&nbsp;
<img class="alignnone wp-image-49558" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/gevorderden.png" alt="icoon gevorderde opgaven" width="60" height="60" />
<h5>Gevorderd</h5>
Sanne wil een zwembad laten aanleggen in de tuin. Voor de aanleg is een vierkant stuk grond nodig. Dit betekent dat de lengte en breedte even groot zijn. Daarnaast is er nog een oppervlakte voor het terras nodig die in totaal een oppervlakte van 4 keer de lengte van het zwembad moet hebben.
Sanne heeft maximaal 21 vierkante meter beschikbaar. Wat zijn de maximale afmetingen die het zwembad mag hebben?
<h6>Uitwerking</h6>
Hier zal je zelf de ongelijkheid op moeten stellen. Het zwembad is een vierkant dus lengte = breedte. Stel de lengte is x. Dan is de oppervlakte van het zwembad x \cdot x=x^2. Verder is er nog het terras dat een oppervlakte van 4 maal de lengte van het zwembad heeft. Dit is dus 4x. De totale oppervlakte komt dan op x^2+4x.
De ongelijkheid wordt dan x^2+4x\leq21.
Vervang het ongelijkteken door een gelijkteken 
x^2+4x=21 
x^2+4x-21=0 
(x+7)(x-3)=0 
x=-7 \vee x=3
De zijden van het zwembad kunnen dus een lengte en breedte van maximaal 3 meter hebben.

6leerlingen-basicblock-cursus-wismon

Leerlingen wiskunde cursus Wismon

Logaritmen en logschalen worden gebruikt om ofwel hele grote of hele kleine getallen in een grafiek uit te zetten. Maar functies met een logaritme moet je ook kunnen oplossen. In deze blog leer je hoe.

wismon-header20

https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2020/08/WisMon-Header20.jpg

WisMon Header20

Wat zijn logaritmische functies en hoe los je ze op?

De logaritme van een getal is de macht van een getal waartoe een ander getal verkregen wordt. Een voorbeeld is \log_2{(8)}. Hiermee wordt bedoeld tot welke macht/exponent je het grondtal 2 moet verheffen om 8 te krijgen. Logaritmes worden toegepast om exponentiële functies op te lossen. Benieuwd naar andere functies? Lees dan <a href="https://www.wismon.nl/kennisbank-vragen/standaardfuncties/">deze blog</a>.
<h2>Logaritmische functies</h2>
Net zoals worteltrekken het omgekeerde is van machtsverheffen, zo is een logaritmische functie het omgekeerde van een exponentiële functie. Voor het oplossen van een exponentiële functie gebruik je dus een logaritme en vice versa. Hier volgt een stappenplan voor het oplossen van een exponentiële functie:
Stap 1: Schrijf de vergelijking om naar de vorm g^x=y. Hier noemen we g het grondtal van de logaritme. Als er geen grondtal gegeven is dan is het grondtal altijd 10, dus \log{(x)}=\log_{10}{(x)}.
Stap 2: Als g^x=y dan x=\log_g{(y)}.
Stap 3: Als je mag afronden, reken je het logaritme uit op je GR.
<h6>Voorbeeld: los op voor x: {2\cdot6}^x-4=3</h6>
<img class="alignleft wp-image-52825 size-medium" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/geogebra-export-2-300x300.png" alt="grafiek voor de oplossingsmethode van een logaritmische functie" width="300" height="300" srcset="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/geogebra-export-2-300x300.png 300w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/geogebra-export-2-100x100.png 100w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/geogebra-export-2-600x600.png 600w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/geogebra-export-2-1024x1024.png 1024w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/geogebra-export-2-150x150.png 150w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/geogebra-export-2-768x768.png 768w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/geogebra-export-2-1536x1536.png 1536w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/geogebra-export-2-2048x2048.png 2048w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/geogebra-export-2-120x120.png 120w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/geogebra-export-2-640x640.png 640w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/geogebra-export-2-1620x1620.png 1620w" sizes="(max-width: 300px) 100vw, 300px" />
&nbsp;
Stap 1:
2 \cdot 6^x = 7 
 6^x = 3 \frac{1}{2}
Stap 2: 
x = \log_6{(3\frac{1}{2})}
Stap 3: 
\log_6{(3\frac{1}{2})}\approx0.699.
&nbsp;
<h2>Logaritmen zonder rekenmachine</h2>
Wanneer je een logaritmische functie moet oplossen, zal je de functie in sommige gevallen eerst moeten omschrijven naar \log_g{(x)}=a.
Het stappenplan is als volgt:
Stap 1: schrijf om naar een vorm met één logaritme of twee logaritmen met hetzelfde grondtal.
Stap 2: Los op voor x.
Maak hierbij gebruik van de volgende rekenregels van logaritmen:
<ol>
<li>\log_g{(a)}+\log_g{(b)}=\log_g{(a\cdot b)}</li>
<li>\log_g{(a)}-\log_g{(b)}=\log_g{(\frac{a}{b})}</li>
<li>\log_g{(b^p)}=p\cdot\log_g{(b)}</li>
<li>\log_g{(b)}=\frac{\log{(b)}}{\log{(g)}}</li>
</ol>
<h6>Voorbeeld: Los op voor x: \log_3{(x+2)}=2-\log_3{(x-4)}</h6>
Stap 1: Schrijf om naar \log_g{(x)}=a: 
\log_3{(x+2)}+\log_3{(x-4)}=1
\log_3{(x+2)(x-4)}=1                          (rekenregel 1)
\log_3{(x^2-2x-8)}=1
Stap 2: Los op.
x^2-2x-8=3^1
x^2-2x-11=0
x=\dfrac{2\pm\sqrt{48}}{2}
x=\dfrac{2-4\sqrt{2}}{2} \vee x=\dfrac{2+4\sqrt{2}}{2}
x=1-2\sqrt{2} \vee x=1+2\sqrt{2}

Je kunt een opgave over een logaritme herkennen aan de ‘log’ of aan het oplossen van een exponentiële functie.
De logaritme van een negatief getal heeft geen uitkomst.

<h2>Voorbeeldopgaven</h2>
<img class="alignnone wp-image-49627" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/basisniveau.png" alt="icoon voor basisopgaven" width="60" height="60" />
<h5>Basis</h5>
Los algebraïsch op: 5\cdot3^{2x}=20.
<h6>Uitwerking</h6>
3^{2x} = 4
2x = \log_3{(4)} 
x = \frac{1}{2} \log_3{(4)}
<img class="alignnone wp-image-49558" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/gevorderden.png" alt="icoon voor gevorderde opgaven" width="60" height="60" />
<h5>Gevorderd</h5>
De functie y=4\cdot2^{2x+3} kun je ook schrijven als \log_2{(y)}=ax+b. Geef a en b.
<h6>Uitwerking</h6>
We nemen eerst aan beide kanten het logaritme met grondtal 2.
\log_2{(y)}=\log_2{(4\cdot2^{2x+3})}
\log_2{(y)}=\log_2{(4)}+\log_2{(2^{2x+3})}
\log_2{(y)}=\log_2{(4)}+(2x+3)\cdot\log_2{2}
\log_2{(y)}=2+(2x+3)\cdot1
\log_2{(y)}=2x+5
dus a = 2 en b = 5.

Voor elke functie in de wiskunde bestaat er een standaardfunctie. Maar wat zijn de standaardfuncties eigenlijk? en hoe los je ze op?

wismon-header26

https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2020/08/WisMon-Header26.jpg

WisMon Header26

Wat zijn standaardfuncties?

<h2>Standaardfuncties op een rij</h2>
Een standaardfunctie is een basis functie die bestaat uit x, y en in sommige gevallen letters waar getallen in kunnen worden gevuld.
Dit zijn ze op een rij:
<ul>
<li style="list-style-type: none;">
<ul>
<li><a href="https://www.wismon.nl/news/wat-is-een-lineaire-functie">De lineaire functie</a>: 
 y = ax + b </li>
<li><a href="https://www.wismon.nl/kennisbank-vragen/kwadratische-functies-oplossen/">De kwadratische functie</a>: 
 y = ax^2 + bx + c</li>
<li>De wortelfunctie: 
 y = \sqrt x</li>
<li>De gebroken functie: 
 y = \dfrac{1}{x} </li>
<li>De exponentiële functie: 
 y = g^x </li>
<li><a href="https://www.wismon.nl/kennisbank-vragen/logaritmische-functies-oplossen/">De logaritmische functie</a>: 
 y = log(x)</li>
<li>De goniometrische functies: 
y = sin(x) en y = cos(x)</li>
</ul>
</li>
</ul>

Wist je dat elke functie ontstaan is uit één van deze standaardfuncties? 
De standaardfuncties kun je transleren (omhoog/omlaag en naar links/rechts verplaatsen) en vermenigvuldigen t.o.v. de x-as en de  y-as.

<h2>Voorbeeldopgaven</h2>
<img class="alignnone wp-image-49627" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/basisniveau.png" alt="icoon basisopgave" width="60" height="60" />
<h5>Basis</h5>
Hoe ontstaat de functie y = 3 \sqrt x + 2 uit de standaardfunctie?
<h6>Uitwerking:</h6>
Het gaat hier om een wortelfunctie. Hiervan is de standaardfunctie: y = \sqrt x .
Deze functie vermenigvuldig je ten opzichte van de x-as met 3 om y = 3 \sqrt x te krijgen.
Vervolgens verschuif je de grafiek met 2 omhoog. Zo ontstaat de functie  y = 3 \sqrt x + 2.
&nbsp;
<img class="alignnone wp-image-49558" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/gevorderden.png" alt="icoon gevorderde opgave" width="60" height="60" />
<h5>Gevorderd</h5>
Hoe ontstaat de functie y = 2+8sin(x+3) uit de standaardfunctie?
<h6>Uitwerking:</h6>
Dit is een goniometrische functie. Hiervan in de standaardfunctie y=sin(x).
Eerst wordt de standaardfunctie met 8 t.o.v. de x-as vermenigvuldigt. Er ontstaat dan een functie van y=8sin(x) .
Vervolgens wordt de functie 2 omhoog verschoven en 3 naar links. Dit is dus een translatie van (2, -3).
Zo ontstaan de functie y = 2+8sin(x+3) uit de standaardfunctie y=sin(x).

De allerbekendste functie is ook de simpelste, de lineaire functie. Na het lezen van deze blog kan je lineaire functies herkennen en gebruiken. Je leert ook hoe je een lineaire functie uit een grafiek kan aflezen en opstellen.

Wat is een lineaire functie?

Lineaire functies en vergelijkingen worden in veel verschillende situaties gebruikt. Bijvoorbeeld om te kijken hoelang je ergens voor moet sparen, hoeveel water je gebruikt bij het douchen of hoeveel drinken je moet kopen voor een feestje. Het is een functie zonder kwadraten of wortels en wordt ook een eerstegraads functie genoemd. Benieuwd naar andere functies? Lees dan <a href="https://www.wismon.nl/kennisbank-vragen/standaardfuncties/">deze blog</a>.

<h2>Waar bestaat een lineaire functie uit?</h2>
De standaardvorm van een lineaire functie is y = ax + b. Het bestaat dus uit vier onderdelen. Die hebben allemaal hun eigen rol in de functie.
<ul>
<li>De x en de y zijn de onbekende letters.
<ul>
<li>Als de y niet bekend is kan je een getal invullen voor x om y te berekenen.</li>
<li>Als y wel bekend is heb je een vergelijking die je kan oplossen om x te berekenen. In <a href="https://www.wismon.nl/news/vergelijkingen-hoe-los-je-ze-op/" target="_blank" rel="noopener">deze blog</a> leer je hoe je dat doet.</li>
</ul>
</li>
<li>De a noemen we de richtingscoëfficiënt of het hellinggetal.
<ul>
<li>Als x toeneemt met 1 zal het antwoord toenemen met de richtingscoëfficiënt.</li>
</ul>
</li>
<li>De b noemen we het startgetal.
<ul>
<li>Als voor x een 0 wordt ingevuld zal y altijd uitkomen op het startgetal.</li>
</ul>
</li>
</ul>
Stel de functie is y = 5x + 3. Bij x = 0 zie je y = 3, dat is dus het startgetal.
Je ziet ook dat als x toeneemt met 1, y toe zal nemen met 5, dat is dus de richtingscoëfficiënt.

<h2>Het opstellen van een lineaire functie uit een grafiek</h2>
Als we van een lineaire functie een grafiek maken is dat altijd een rechte lijn. Uit een grafiek kunnen we de onderdelen herkennen en de functie opstellen.
<ul>
<li>De a, de richtingscoëfficiënt, bepaalt hoe de grafiek loopt.
<ul>
<li>Hoe verder a afzit van 0, hoe steiler de grafiek loopt.</li>
<li>a &gt; 0, de grafiek stijgt.</li>
<li>a &lt; 0, de grafiek daalt.</li>
<li>Twee functies met dezelfde richtingscoëfficiënt lopen dus evenwijdig aan elkaar.</li>
</ul>
</li>
<li>De b, het startgetal, is waar de grafiek de y-as kruist.
<ul>
<li>Dat is altijd bij x = 0, dat punt zal dus altijd (0, b) zijn.</li>
</ul>
</li>
</ul>
Om de formule op te stellen volg je de 6 stappen zoals in het volgende voorbeeld.
<h6>Voorbeeld:</h6>
<img class="alignnone wp-image-50497 size-medium" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-1-256x300.png" alt="voorbeeldgrafiek voor het oplossen van een lineaire functie" width="256" height="300" srcset="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-1-256x300.png 256w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-1-600x702.png 600w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-1-875x1024.png 875w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-1-768x899.png 768w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-1-1313x1536.png 1313w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-1-1750x2048.png 1750w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-1-103x120.png 103w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-1-1620x1896.png 1620w" sizes="(max-width: 256px) 100vw, 256px" />
Stap 1: schrijf de standaardformule op.
y = ax + b
Stap 2: zoek twee punten op de lijn.
(1, 10) en (5, 26)
Stap 3: bereken de richtingscoëfficiënt.
a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{Δy}{Δx}
a = \frac{26-10}{5-1} = \frac{16}{4} = 4
Stap 4: zet je gevonden a in de standaardformule.
y = 4x + b
Stap 5: vul de y en de x van één van je gekozen punten in je standaardformule in en los hem op om b te bepalen.
10 = 4 \cdot 1 + b
10 = 4 + b
10 &#8211; 4 = b
6 = b
Stap 6: zet je gevonden b in de standaardformule.
y = 4x + 6

Kan je het startgetal precies aflezen in de grafiek? Dan mag je die ook gelijk invullen zonder te berekenen.
Een opgave over lineaire functies kun je herkennen aan een rechte lijn in een grafiek of een functie die alleen een x bevat (en geen kwadraat, wortel, breuk, exponent of logaritme).

<h2>Voorbeeldopgaven</h2>
<img class="alignnone wp-image-49627" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/basisniveau.png" alt="icoon basisopgaven" width="60" height="60" />
<h5>Basis</h5>
Stel de formule op bij deze grafiek.
<img class="alignnone wp-image-50500 size-medium" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-2-282x300.png" alt="grafiek basisopgave" width="282" height="300" srcset="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-2-282x300.png 282w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-2-600x637.png 600w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-2-964x1024.png 964w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-2-768x816.png 768w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-2-1446x1536.png 1446w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-2-1928x2048.png 1928w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-2-113x120.png 113w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-2-1620x1721.png 1620w" sizes="(max-width: 282px) 100vw, 282px" />
<h6>Uitwerking:</h6>
<ol>
<li>y = ax + b</li>
<li>(0, 11) en (3, 5)</li>
<li>a = \frac{Δy}{Δx} = \frac{5-11}{3-0} = \frac{-6}{3} = -2</li>
<li>y = -2x + b</li>
<li>b = 11 (afgelezen)</li>
<li>y = -2x + 11</li>
</ol>
<img class="alignnone wp-image-49558" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/gevorderden.png" alt="icoon gevorderde opgaven" width="60" height="60" />
<h5>Gevorderd</h5>
Je gaat frisdrank kopen voor je verjaardagsfeest. Om te weten hoeveel flessen je moet halen vraag je aan je vrienden hoeveel er gedronken was bij hun verjaardagen. Je ene vriend zegt dat hij 11 mensen had uitgenodigd en dat er 16 flessen frisdrank op zijn gegaan, de ander had 23 mensen uitgenodigd en toen zijn er 25 op gegaan.
<ol>
<li>Stel de formule op die je kan gebruiken om uit te rekenen hoeveel flessen je moet kopen voor jouw feest.</li>
<li>Teken de grafiek die bij de formule hoort.</li>
<li>Wat klopt er niet aan je getekende grafiek?</li>
<li>Er staan thuis nog 3 flessen van een vorig feest die je mag gebruiken. Bepaal de nieuwe formule voor het aantal flessen wat je moet kopen.</li>
</ol>
<h6>Uitwerking:</h6>
<ol>
<li>y = ax + b waarbij y het aantal flessen is en x het aantal mensen op het feest. 
Deze formule gaat door de punten (11, 16) en (23, 30). 
Eerst bereken je a: a = \frac{Δy}{Δx} = \frac{30-16}{23-11} = \frac{14}{12} = 1\frac{1}{6}\\. 
De coördinaten en a invullen in de standaardformule geeft: y = 1 \frac{1}{6}x + b \\ 
16 = 1\frac{1}{6} \cdot 11 + b \\ 
16 = 12\frac{5}{6} + b \\ 
16 &#8211; 12\frac{5}{6} = b \\ 
3\frac{1}{6} = b \\ 
y = \frac{3}{4}x + 3\frac{1}{6}</li>
<li>
<div id="attachment_50806" style="width: 310px" class="wp-caption alignnone"><img aria-describedby="caption-attachment-50806" class="wp-image-50806 size-medium" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-3-3-300x248.png" alt="grafiek gevorderde opgave" width="300" height="248" srcset="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-3-3-300x248.png 300w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-3-3-600x497.png 600w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-3-3-1024x848.png 1024w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-3-3-768x636.png 768w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-3-3-1536x1272.png 1536w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-3-3-2048x1696.png 2048w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-3-3-120x99.png 120w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/Lineaire-functie-3-3-1620x1341.png 1620w" sizes="(max-width: 300px) 100vw, 300px" />De grafiek van y = \frac{3}{4}x + 3\frac{1}{6} voor x&gt;0 </div></li>
<li>De grafiek gaat niet door (0,0) terwijl je dat wel zou verwachten: als er niemand op je feestje komt, hoef je ook geen frisdrank te kopen.</li>
<li>y = \frac{3}{4}x + 3\frac{1}{6} &#8211; 3 = \frac{3}{4}x + \frac{1}{6}</li>
</ol>

Kwadraten komen niet alleen bij wiskunde voor, zoals bij de stelling van Pythagoras, maar ook bij alle andere exacte wetenschappen. Maar wat is een kwadraat precies? en hoe los je een kwadratische vergelijking op? Dat lees je in deze blog.

wismon-header19

https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2020/08/WisMon-Header19.jpg

WisMon Header19

Wat zijn kwadratische functies en hoe los je ze op?

Kwadratische functies komen voor in verschillende vakgebieden zoals bij het berekenen van oppervlaktes in de wiskunde en bij de kwadratenwet in de natuurkunde. In deze blog leer je hoe je een kwadratische functie oplost. Benieuwd naar andere functies? Lees dan <a href="https://www.wismon.nl/kennisbank-vragen/standaardfuncties/">deze blog</a>.
<h2>Wat is een kwadraat?</h2>
Een kwadraat is de tweede macht en betekent dat de waarde met zichzelf wordt vermenigvuldigd.
Voorbeeld: 4\cdot4 = 4^2 = 16 en spreken we uit als &#8216;vier kwadraat&#8217;.
Een functie is kwadratisch wanneer de onbekende letter x in het kwadraat staat én wanneer er geen andere x in de functie is met een hogere macht dan twee.
De standaardfunctie is y=ax^2+bx+c.
Hierin zijn a, b, en c getallen en is x de onbekende. Als je van zo&#8217;n kwadratische functie een grafiek maakt is dat altijd een parabool. Er zijn twee typen parabolen, een dal- en bergparabool.
<div id="attachment_50989" style="width: 250px" class="wp-caption alignleft"><img aria-describedby="caption-attachment-50989" class="wp-image-50989" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/dalparabool-300x258.png" alt="grafiek van een dalparabool" width="240" height="206" srcset="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/dalparabool-300x258.png 300w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/dalparabool-600x516.png 600w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/dalparabool-1024x881.png 1024w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/dalparabool-768x661.png 768w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/dalparabool-1536x1322.png 1536w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/dalparabool-2048x1763.png 2048w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/dalparabool-120x103.png 120w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/dalparabool-1620x1394.png 1620w" sizes="(max-width: 240px) 100vw, 240px" />Dalparabool (a &gt; 0)</div>
<div id="attachment_50992" style="width: 250px" class="wp-caption alignleft"><img aria-describedby="caption-attachment-50992" class="wp-image-50992" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/bergparabool-300x258.png" alt="grafiek van een bergparabool" width="240" height="206" srcset="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/bergparabool-300x258.png 300w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/bergparabool-600x516.png 600w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/bergparabool-1024x881.png 1024w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/bergparabool-768x661.png 768w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/bergparabool-1536x1322.png 1536w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/bergparabool-2048x1763.png 2048w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/bergparabool-120x103.png 120w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/bergparabool-1620x1394.png 1620w" sizes="(max-width: 240px) 100vw, 240px" />Bergparabool (a &lt; 0)</div>
&nbsp;
&nbsp;
&nbsp;
&nbsp;
&nbsp;
&nbsp;
&nbsp;
<div class="mceTemp"></div>

<h2>Hoe los je een kwadratische vergelijking op?</h2>
Voor het oplossen van een kwadratische vergelijking zijn er drie mogelijkheden. Daarvoor is het belangrijk dat je goed kijkt uit welke variabelen de kwadratische vergelijking bestaat. Hier volgen de mogelijkheden.
<h5>Optie 1: ax^2+c=0</h5>
Wanneer de vergelijking alleen uit de variabelen a en c uit de standaardfunctie bestaat, los je de vergelijking als volgt op.
<h6>Voorbeeld: 2x^3-8=0</h6>
<img class="alignleft wp-image-51991 size-medium" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat2-1-289x300.png" alt="grafiek voor de eerste oplossingsmethode" width="289" height="300" srcset="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat2-1-289x300.png 289w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat2-1-600x622.png 600w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat2-1-987x1024.png 987w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat2-1-768x797.png 768w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat2-1-1481x1536.png 1481w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat2-1-1974x2048.png 1974w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat2-1-116x120.png 116w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat2-1-1620x1680.png 1620w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat2-1.png 2014w" sizes="(max-width: 289px) 100vw, 289px" />
Stap 1: haal c naar de rechter kant van het =-teken.
2x^2=8
Stap 2: Deel links en rechts van het =-teken door a.
x^2=4
Stap 2: Neem links en rechts de wortel. Let op: het kwadraat van -2 is ook 4!
x=2 \vee x=-2
&nbsp;
&nbsp;
&nbsp;
<h5>Optie 2: ax^2+bx=0</h5>
Wanneer de kwadratische vergelijking een waarde van c=0 heeft, los je de vergelijking als volgt op:
<h6>Voorbeeld: -2x^2+3x=0</h6>
<img class="alignleft wp-image-52036 size-medium" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat6-300x292.png" alt="grafiek voor de tweede oplossingsmethode" width="300" height="292" srcset="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat6-300x292.png 300w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat6-600x584.png 600w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat6-1024x997.png 1024w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat6-768x748.png 768w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat6-120x117.png 120w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat6.png 1271w" sizes="(max-width: 300px) 100vw, 300px" />
Stap 1: haal x buiten haakjes.
x(-2x+3)=0
Stap 2: stel dat één van beide termen 0 is.
x=0 \vee -2x+3=0
Stap 3: Los op.
x=0 \vee -2x=-3
x=0 \vee x=1\dfrac{1}{2}
&nbsp;
<h5></h5>
<h5>Optie 3: ax^2+bx+c=0</h5>
Er zijn twee methoden voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen die uit drie termen bestaan:
<ul>
<li>De product-som-methode</li>
<li>De abc-formule.</li>
</ul>
Eerst probeer je of de product-som-methode een optie is. Hiervoor ga je de functie omschrijven naar (x + p)(x + q) = 0. Om p en q te bepalen ga je opzoek naar twee getallen waarbij p + q = b en p \cdot q = c.
<h6 style="text-align: left;">Voorbeeld 1: x^2 + 9x + 20 = 0</h6>
<img class="alignleft wp-image-51970" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat1-186x300.png" alt="grafiek voor product som methode" width="206" height="333" srcset="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat1-186x300.png 186w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat1-600x966.png 600w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat1-636x1024.png 636w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat1-768x1237.png 768w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat1-954x1536.png 954w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat1-1272x2048.png 1272w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat1-75x120.png 75w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat1-1620x2609.png 1620w" sizes="(max-width: 206px) 100vw, 206px" />
Stap 1. Ga opzoek naar twee getallen die samen op b uitkomen en met elkaar vermenigvuldigd op c.
4 + 5 = 9 en 4 \cdot 5 = 20 
dus p = 4 en q = 5
Stap 2. Vul de gevonden p en q in.
(x + 4)(x + 5) = 0
Stap 3. Los de vergelijking op. Voor elke oplossing wil je dat een stukje tussen haakjes uitkomt op 0.
x+4=0 \vee x+5=0 
x=-4 \vee x=-5
&nbsp;
Bij sommige vergelijkingen kan het natuurlijk gebeuren dat je een vergelijking krijgt waarbij je geen p en q kan vinden. In die gevallen gebruik je de welbekende abc-formule. Hiervoor bereken je eerst de discriminant:
D = b^2-4ac
Voor de discriminant geldt:
<ul>
<li>Als D &gt; 0, dan zijn er twee snijpunten met de x-as.</li>
<li>Als D = 0, dan raakt de functie de x-as en is er dus één snijpunt.</li>
<li>Als D &lt; 0, dan zijn er geen snijpunten met de x-as.</li>
</ul>
Als je de discriminant hebt uitgerekend kun je deze invullen in de abc-formule om de oplossingen voor x te berekenen:
        x = \dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}
<h6 style="text-align: left;">Voorbeeld 2: 3x^2+7x-9=0</h6>
<img class="alignleft wp-image-52000" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat4-220x300.png" alt="grafiek voor abc formule" width="278" height="380" srcset="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat4-220x300.png 220w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat4-600x820.png 600w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat4-750x1024.png 750w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat4-768x1049.png 768w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat4-1124x1536.png 1124w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat4-1499x2048.png 1499w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat4-88x120.png 88w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat4-1620x2213.png 1620w" sizes="(max-width: 278px) 100vw, 278px" />
Stap 1: Bereken de discriminant.
D = b^2-4ac = 7^2-(4\cdot3\cdot -9)=157
D&gt;0 dus de vergelijking heeft twee oplossingen.
Stap 2: Vul de abc-formule in.
x=\dfrac{-7 \pm \sqrt{157}}{2\cdot 3}
Stap 3: Los op.
x=\dfrac{-7-\sqrt{157}}{6} \vee x=\dfrac{-7+\sqrt{157}}{6}
x=-1\dfrac{1}{6}-\sqrt{157} \vee x=-1\dfrac{1}{6}+\sqrt{157}

Je kunt een opgave over kwadratische vergelijkingen herkennen aan een kwadraat in de vergelijking of een parabool als grafiek.
Let op: het kwadraat van een negatief getal geeft een positieve uitkomst!

<h2>Voorbeeldopgaven</h2>
<img class="alignnone wp-image-49627" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/basisniveau.png" alt="icoon voor basisopgaven" width="60" height="60" />
<h5>Basis</h5>
Los de vergelijking x^2 &#8211; 12x + 35 = 0 algebraïsch op.
<h6>Uitwerking</h6>
Eerst ga je proberen of de product-som-methode een optie is.
-5+-7=-12 en -5\cdot -7 = 35 dus p=-5 en q=-7
(x-5)(x-7)=0
x-5=0 \vee x-7=0
x=5 \vee x=7
De oplossingen zijn x=5 en x=7
Je kunt je antwoord altijd nagaan door de grafiek te tekenen in je GR:
<img class="alignnone wp-image-52006 size-medium" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat5-277x300.png" alt="grafiek voor basisopgaven" width="277" height="300" srcset="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat5-277x300.png 277w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat5-600x650.png 600w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat5-945x1024.png 945w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat5-768x832.png 768w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat5-1418x1536.png 1418w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat5-111x120.png 111w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat5-1620x1755.png 1620w, https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/03/kwadraat5.png 1888w" sizes="(max-width: 277px) 100vw, 277px" />
Je kunt dan zien dat de oplossingen x=5 en x=7 kloppen.
&nbsp;
<img class="alignnone wp-image-49558" src="https://backend.wismon.nl/wp-content/uploads/2021/02/gevorderden.png" alt="icoon voor gevorderde opgaven" width="60" height="60" />
<h5>Gevorderd</h5>
Los de vergelijking 3x^2 &#8211; 21x + 20 = 0 op en geef aan of het een dal- of bergparabool is. Rond je antwoord af op twee decimalen.
<h6>Uitwerking</h6>
De grafiek is en dalparabool want a=3 en 3 &gt; 0
D=(-21)^2 &#8211; 4 \cdot 3 \cdot 20 = 201 
201 &gt; 0 
Er zullen dus twee oplossingen zijn.
x=\frac{21+\sqrt{201}}{2\cdot3}  \vee x=\frac{21-\sqrt{201}}{2\cdot3} 
x=5,86 \vee x=1,14
De oplossingen zijn x=5,86 en x=1,14